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高中數學奧賽輔導教材第一講

高中數學奧賽輔導教材共十講已上傳完畢

第一講 集合概念及集合上的運算

知識、方法、技能

高中一年級數學(上)(試驗本)課本中給出了集合的概念;一般地,符合某種條件(或具有某種性質)的對象集中在一起就成為一個集合.

在此基礎上,介紹了集合的元素的確定性、互異性、無序性.深入地逐步給出了有限集、無限集,集合的列舉法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、補集、并集等十余個新名詞或概念以及二十幾個新符號.由此形成了在集合上的運算問題,形成了以集合為背景的題目和用集合表示空間的線面及其關系,表面平面軌跡及其關系,表示充要條件,描述排列組合,用集合的性質進行組合計數等綜合型題目.

賽題精講

Ⅰ.集合中待定元素的確定

充分利用集合中元素的性質和集合之間的基本關系,往往能解決某些以集合為背景的高中數學競賽題.請看下述幾例. 例1:求點集{(x,y)|lg(x

3

131

y ) lgx lgy}中元素的個數. 39

3

【思路分析】應首先去對數將之化為代數方程來解之. 【略解】由所設知x 0,y 0,及x

3

131

y xy, 39

由平均值不等式,有x

13111

y 3(x3) (y3) () xy, 3939

當且僅當x

3

13111

y ,即x ,y (虛根舍去)時,等號成立. 3993

故所給點集僅有一個元素.

【評述】此題解方程中,應用了不等式取等號的充要條件,是一種重要解題方法,應注意掌握之.

例2:已知A {y|y x 4x 3,x R},B {y|y x 2x 2,x R}.求A B. 【思路分析】先進一步確定集合A、B.

【略解】y (x 2) 1 1,又y (x 1) 3 3. ∴A={y|y 1},B {y|y 3},故A B {y| 1 y 3}. 【評述】此題應避免如下錯誤解法:

2

2

2

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