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高中數學競賽教程 平面幾何

高中數學競賽教程 平面幾何

第一講 注意添加平行線證題

在同一平面內,不相交的兩條直線叫平行線.平行線是初中平面幾何最基本的,也是非常重要的圖形.在證明某些平面幾何問題時,若能依據證題的需要,添加恰當的平行線,則能使證明順暢、簡潔. 添加平行線證題,一般有如下四種情況.

1 為了改變角的位置

大家知道,兩條平行直線被第三條直線所截,同位角相等,內錯角相等,同旁內角互補.利用這些性質,??賞ü砑悠叫邢?將某些角的位置改變,以滿足求解的需要.

例1 設P、Q為線段BC上兩點,且BP=CQ,A為BC外一動點(如圖1).當點A運動到使 ∠BAP=∠CAQ時,△ABC是什么三角形?試證明你的結論. 答: 當點A運動到使∠BAP=∠CAQ時,△ABC為等腰三角形.

證明:如圖1,分別過點P、B作AC、AQ的平行線得交點D.連結DA.

在△DBP=∠AQC中,顯然

∠DBP=∠AQC,∠DPB=∠C.

D

A

BP圖1

Q

由BP=CQ,可知 △DBP≌△AQC. 有DP=AC,∠BDP=∠QAC. 于是,DA∥BP,∠BAP=∠BDP.

則A、D、B、P四點共圓,且四邊形ADBP為等腰梯形.故AB=DP. 所以AB=AC.

這里,通過作平行線,將∠QAC“平推”到∠BDP的位置.由于A、D、B、P四點共圓,使證明很順暢. 例2 如圖2,四邊形ABCD為平行四邊形,∠BAF=∠BCE.求證:∠EBA=∠ADE. E證明:如圖2,分別過點A、B作ED、EC的平行線,得交點P,連PE. 由AB ∥ CD,易知△PBA≌△ECD.有PA=ED,PB=EC. =

顯然,四邊形PBCE、PADE均為平行四邊形.有 ∠BCE=∠BPE,∠APE=∠ADE. 由∠BAF=∠BCE,可知 ∠BAF=∠BPE.

有P、B、A、E四點共圓. 于是,∠EBA=∠APE. 所以,∠EBA=∠ADE.

P

B圖2

DC

F

這里,通過添加平行線,使已知與未知中的四個角通過P、B、A、E四點共圓,緊密聯系起來.∠APE成為∠EBA與∠ADE相等的媒介,證法很巧妙. 2 欲“送”線段到當處

利用“平行線間距離相等”、“夾在平行線間的平行線段相等”這兩條,??賞ü砑悠叫邢?將某些線段“送”到恰當位置,以證題.

例3 在△ABC中,BD、CE為角平分線,P為ED上任意一點.過P分別作AC、AB、BC的垂線,M、N、Q為垂足.求證:PM+PN=PQ.

A

證明:如圖3,過點P作AB的平行線交BD于F,過點F作BC的平行線分別交PQ、AC NM

E

于K、G,連PG. D 由BD平行∠ABC,可知點F到AB、BC兩邊距離相等.有KQ=PN. 顯然,

EPPD

B

K

Q圖3

C

EFFD

CGGD

,可知PG∥EC.

由CE平分∠BCA,知GP平分∠FGA.有PK=PM.于是, PM+PN=PK+KQ=PQ.

這里,通過添加平行線,將PQ“掐開”成兩段,證得PM=PK,就有PM+PN=PQ.證法非常簡捷. 3 為了線段比的轉化

由于“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊,所得對應線段成比例”,在一些問題中,可以通過添加平行線,實現某些線段比的良性轉化.這在平面幾何證題中是會經常遇到的.

例4 設M1、M2是△ABC的BC邊上的點,且BM1=CM2.任作一直線分別交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2.試證:

ABAP

ACAQ

AM

1

AN1

AMAN

22

.

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